Трансцендентні функції

Елементарні функції, які є алгебраїчними, називаються трансцендентними елементарними функціями.

- Показова;

- логарифмічна;

- тригонометричні;

- Зворотні тригонометричні).

3.Числова послідовність

Числова послідовність –функція видуа=f(x),xÎN,деN– безліч натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначаєтьсяа=f(n)абоа1,а2,…,аn,…. Значенняа1,а2,а3, ... називають відповідно першим, другим, третім, … членами послідовності.

Способи завдання послідовностей. Послідовності можна задавати різними способами, серед яких особливо важливі три: аналітичний, описовий та рекурентний.

1. Послідовність задана аналітично, якщо задана формула їїn-го члена:

Приклад 3.1.an= 2n –1–послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описовий спосіб завдання числової послідовності полягає в тому, що пояснюється, з яких елементів будується послідовність.

Приклад 3.2. "Усі члени послідовності рівні 1". Це означає, йдеться про стаціонарну послідовність 1, 1, 1, …, 1, ….

Приклад 3.3. «Послідовність складається з усіх простих чисел у порядку зростання». Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, …. При такому способі завдання послідовності в даному прикладі важко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000 елемент послідовності.

3. Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислитиn-й член послідовності,якщо відомі її попередні члени. У таких випадках вказують формулу, що дозволяє виразитиn-й член послідовності через попередні.

Можна бачити, що отриману в цьому прикладі послідовність можна задати аналітично:an= 4n -1.

Властивості числових послідовностей. Числова послідовність - окремий випадок числової функції, тому ряд властивостей функцій розглядаються і для послідовностей.

Визначення. Послідовність an>називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

Визначення. Послідовність називається періодичною, якщо існує таке натуральне числоT, що починаючи з деякогоn, виконується рівністьan=an+T. ЧислоTназивається довжиною періоду.

Приклад 3.6. Послідовність періодична з довжиною періодуT= 2.

Арифметична прогресія. Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і одного і того ж числаd, називають арифметичноюпрогресією, а числоd- різницею арифметичної прогресії.

Таким чином, арифметична прогресія – це числова послідовність an>, задана рекурентно співвідношеннями

(aтаd– задані числа).

Приклад 3.7. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – зростаюча арифметична прогресія, у якоїa1 = 1,d= 2.

Приклад 3.8. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – спадна арифметична прогресія, у якоїa1 = 20,d= -3.

Неважко знайти явний (формульний) виразanчерезn.Величина чергового елемента зростає наdпорівняно з попереднім, таким чином, величинаnелемента зросте навеличину (n –1)dпроти першим членом арифметичної прогресії, тобто.

Це формула n- го члена арифметичної прогресії.

Геометрична прогресія. а числоq- знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність bn>, задана рекурентно співвідношеннями

Приклад 3.9. 2, 6, 18, 54, … – зростаюча геометрична прогресіяb= 2,q= 3.

Приклад 3.10. 2, -2, 2, -2, …-геометрична прогресіяb= 2,q= -1.

Приклад 3.11. 8, 8, 8, 8, …–геометрична прогресіяb= 8,q= 1.

Геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0,q> 1, і спадної, якщоb1 > 0, 0 2 ,b2 2 ,b3 2 , …,bn2 , … є геометричною прогресією, перший член якої дорівнюєb1 2, а знаменник -q2 .

Формулаn-го члена геометричної прогресії має вигляд

Можна одержати формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії.

.

Це формула суми n членів геометричної прогресії для випадку, колиa¹1.

Приq= 1 формулу можна не виводити окремо, очевидно, що в цьому випадкуSn=a1n.

Геометрична прогресія названа тому, що в ній кожен член крім першого,дорівнює середньому геометричному попереднього та наступного членів.

Межа послідовності. Нехай є послідовність cn> = n>.Цю послідовність називають гармонійною, оскільки кожен її член, починаючи з другого, є середнє гармонійне між попереднім і наступним членами. Середнє геометричне чиселaіbє число , або . Зі зростаннямnвсі члени геометричної прогресії зменшуються та його значення наближається до нуля. У цьому випадку прийнято говорити, що при n , що прагне до нескінченності, дана послідовність сходиться і нуль є її межа. Записується це так:

.

Суворе визначення межі формулюється так:

Якщо є таке числоA, що з будь-якого (як завгодно малого) позитивного числа e знайдеться таке натуральнеN(взагалі, залежить від e), що всімn³Nбуде виконано нерівністьan – A

---