Тригранні та багатогранні кути - презентація з Геометрії
Багатогранні кути Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 із загальною вершиною S, в яких сусідні кути не мають спільних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, називатимемо багатогранною поверхнею. Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах. Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними і т.д.
Вертикальні багатогранні кути На рисунках наведено приклади тригранних, чотиригранних та п'ятигранних вертикальних кутів.
Вимірювання багатогранних кутів Розглянемо питання про вимір багатогранних кутів. Оскільки градусна величина розгорнутого двогранного кута вимірюється градусною величиною відповідного лінійного кута і дорівнює 180о, то вважатимемо, що градусна величина всього простору, що складається з двох розгорнутих двогранних кутів, дорівнює 360о. Розмір багатогранного кута, виражена в градусах, показує яку частину простору займає даний багатокутний кут. Наприклад, тригранний кут куба займає одну восьму частину простору і, отже, його градусна величина дорівнює 360о: 8 = 45о. Тригранний кут у правильній n-вугільній призмі дорівнює половині двогранного кута при бічному ребрі. Враховуючи, що цей двокутний кут дорівнює , отримуємо триграннийкут призми дорівнює.
Тригранні кути Виведемо формулу, що виражає величину тригранного кута через його двогранні кути. Опишемо біля вершини S тригранного кута одиничну сферу і позначимо точки перетину ребер тригранного кута з цією сферою A, B, C. Площини граней тригранного кута розбивають цю сферу на шість рівних попарно сферичних двокутників, відповідних двогранним кутам даного тригранного кута. Сферичний трикутник ABC та симетричний йому сферичний трикутник A'B'C' є перетином трьох двокутників. Тому подвоєна сума двогранних кутів дорівнює 360о плюс вчетверо величина тригранного кута, або SA + SB + SC = 180о + 2 SABC. Таким чином, маємо таку формулу
Багатогранні кути Нехай SA1…An – опуклий n-гранний кут. Розбиваючи його на тригранні кути, проведенням діагоналей A1A3, …, A1An-1 та застосовуючи до них отриману формулу, матимемо: Багатогранні кути можна вимірювати і числами. Дійсно, трьомстам шістдесяти градусів всього простору відповідає число 2 , що дорівнює половині площі одиничної сфери. Тому чисельною величиною багатогранного кута вважають половину площі сферичного багатокутника, що висікається багатогранним кутом із одиничної сфери з центром у вершині даного багатогранного кута. Переходячи від градусів до числа в отриманій формулі, матимемо:
Тригранні кути тетраедра Для двогранних кутів тетраедра маємо: , Звідки 70о30 '. Для тригранних кутів тетраедра маємо: 15о45'. Відповідь: 15о45'.
Чотирьохгранні кути октаедра Для двогранних кутів октаедра маємо: , звідки 109о30'. Для чотиригранних кутів октаедра маємо: 38-56'. Відповідь: 38о56'.
П'ятигранні кути ікосаедра Для двогранних кутів ікосаедра маємо: , звідки 138о11'. Для п'ятигранних кутів ікосаедра маємо: 75о28'. Відповідь:75о28'.
Тригранні кути додекаедра Для двогранних кутів додекаедра маємо: , Звідки 116о34 '. Для тригранних кутів додекаедра маємо: 84-51'. Відповідь: 84о51'.
Тригранні та чотиригранні кути ромбододекаедру Завдання. Знайдіть тригранні та чотиригранні кути ромбододекаедра – багатогранника, поверхня якого складається з дванадцяти ромбів.
Чотирьохгранний кут піраміди Завдання. У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи дорівнює 2 см, висота 1 см. Знайдіть чотиригранний кут при вершині цієї піраміди?
Трикутний кут піраміди Завдання. У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, сторони основи – . Знайдіть тригранний кут на вершині цієї піраміди?
Трикутний кут піраміди Завдання. У правильній трикутній піраміді сторони основи дорівнюють 1, бічні ребра – Знайдіть тригранний кут при вершині цієї піраміди?