Визначений інтеграл - Математика

Лекція 1. Певний інтеграл

1. Поняття певного інтегралу

2. Геометричний зміст певного інтегралу

3. Основні властивості певного інтегралу

4. Формула Ньютона-Лейбніца

5. Заміна змінної у певному інтегралі

6. Інтегрування частинами

Лекція 2. Застосування певних інтегралів. невласні інтеграли

1. Площа криволінійної трапеції

2. Обсяг тіла обертання

3. Довжина дуги плоскої кривої

4. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування

5. Невласні інтеграли від необмежених функцій

Лекція 1. Певний інтеграл

1. Поняття певного інтегралу

Нехай функція визначена на відрізку , . Виконаємо такі операції:

1) розіб'ємо відрізок точками на n часткових відрізків;

2) у кожному з часткових відрізків , виберемо довільну точку і обчислимо значення функції у цій точці: ;

3) знайдемо твори, де - Довжина часткового відрізка,;

4) складемо суму

, (1)

яка називається інтегральною сумою функції y = f(x) на відрізку [а, b]. З геометричної точки зору інтегральна сума є сумою площ прямокутників, основами яких є часткові відрізки , а висоти рівні відповідно (рис. 1). Позначимо через довжину найбільшого часткового відрізка;

5) знайдемо межу інтегральної суми, коли .

Визначення. Якщо існує кінцева межа інтегральної суми (1) і вона не залежить ні від способу розбиття відрізка на часткові відрізки, ні від вибору точок у них, то ця межа називається певним інтегралом від функції на відрізку і позначається .

Таким чином, .

УУ цьому випадку функція називається інтегрованою на . Числа а і b називаються відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування, – підінтегральною функцією, – підінтегральним виразом, – змінною інтегрування; Відрізок називається проміжком інтегрування.

Теорема 1. Якщо функція безперервна на відрізку , вона інтегрована у цьому відрізку.

---