Визначення компактного оператора
Лекція 8 Компактні оператори
8.1. Визначення компактного оператора. Властивості компактних операторів
8.2. Компактність інтегральних операторів
8.3. Рівняння із компактними операторами. Фредгольмові оператори
Як вже було зазначено, оператори в кінцевому просторі мають ряд властивостей, які не переносяться на довільні обмежені оператори в нескінченномірних просторах. Наприклад, твердження, якщо KerA= , то ImA=X, справедливо для лінійного оператораA:X®Xу разі кінцевого просторуXі може бути невірним у нескінченномірному випадку. У цьому та наступних розділах буде вивчений клас операторів, які мають деякі властивості операторів у кінцевих просторах. Особливий інтерес до цього класу операторів пов'язаний також із тим, що до нього входять багато інтегральних операторів.
Визначення 8.1. НехайXтаY- банахові простори. Лінійний операторA:X®Yназиваєтьсякомпактним, абоцілком безперервним, якщо він будь-яку обмежену множину вXпереводить у безліч, передкомпактнеY.
Нагадаємо, що операторAє обмеженим (безперервним), якщо він обмежену множину переводить в обмежену. Виділення класу компактних операторів полягає в тому, що обмежені множини можуть бути предкомпактными.
1°. Якщо просториXіYкінцеві, то будь-який лінійний оператор обмежений, значить, він переводить обмежену множину в обмежену; в кінцевому просторі будь-яке обмежене безліч предкомпактно. Таким чином, у кінцевих просторахусі лінійні оператори компактні.
2°. НехайXтаY- довільні нормовані простори.
Визначення 8.2. Лінійний обмежений операторA:X®Yназиваєтьсяоператором кінцевого рангу, якщо його образ ImAє кінцевим простором.
Покажемо, що оператори кінцевого рангу компактні. НехайMÌX– обмежена множина, тоді множинаA(M) ÌYобмежена і в силу кінцевості ImAбезлічA(M) предкомпактно. Зокрема, якщоYзвичайно, то будь-який обмежений лінійний оператор компактний.
3°. Прикладом оператора кінцевого рангу є інтегральний оператор із виродженим ядром.
У просторіC[0, 1] розглянемо інтегральний оператор з виродженим ядром, тобто оператор виду
,
де ,ak(t),bk(t) - безперервні функції. Тоді
,
т. е. образ ImAналежить кінцевому простору, породженому функціямиak(t). Як інтегральний оператор,Aє обмеженим, отже, він компактний.
4°. Для нульового оператора чином є одна точка, отже, він компактний.
5°. Тотожний операторIу кінцевих просторах є компактним (див. приклад1° ). Якщо простірXнескінченномірний, то одиничний шар у ньому, згідно з теоремою Рисса (теорема 16.3 курсу «Функціональний аналіз. Частина 1»), не предкомпактен.
ОператорIпереводить кулю у собі, т. е. обмежена безліч у безліч, що є предкомпактным, отже,Iперестав бути компактним оператором.
6°. Оператор вкладенняJ:C1 [0, 1] ®C[0, 1] діє за формулоюJx=x. Покажемо, щоJ– компактний оператор. НехайM- обмежена множина вC1 [0, 1], тобтоx1 £C. Покажемо, що безлічMпредкомпактноC[0, 1]. Відповідно до теореми Арцела - Асколі (теорема 13.5 курсу «Функціональний аналіз. Частина 1»), потрібно перевірити, що безлічMрівномірно обмежена і рівномірно безперервно.
, (1)
, (2)
Нерівність (1) означає рівномірну обмеженість множиниM. З нерівності (2) та оцінки
отримуємо, що заde/Cдля будь-якихxÎMі будь-якихt1 –t2dмаємоx(t1) – –x(t2)e, що означає рівноважну безперервність множиниMC[0, 1]. Таким чином, безлічMпредкомпактноC[0, 1] і операторJкомпактний.
7°. Оператор множення на функціюa(t) у просторіC[0, 1] таLp[0, 1] не компактний, якщоa(t) ° 0.
Розглянемо спочатку випадок просторуLp[0, 1]. Нехайx(t) > 0 на множиніT0 Ì [0, 1], деm(T0) > 0. Тоді на нескінченномірному підпросторіLp(T0) ÌLp[0, 1], що складається з функцій, рівних нулю поза безліччюT0, операторAмає обмежений зворотний. Як показано нижче, це неможливо, якщоAкомпактний.
Тепер розглянемо випадок просторуC[0, 1]. Нехайa(t0) ¹ 0 іa(t) ÎC[0, 1] . Обмежена послідовність sinn(t–t0) при множенні наa(t) переходить у послідовністьa(t) sinn(t–t0), яка не є рівномірно безперервною і, отже, не є передкомпактною.
Розглянемо основні властивості компактних операторів.
Безліч компактних операторів, що діють з банахового просторуXв банаховий простірY, позначимоK(X,Y).
1. ЯкщоAтаB– компактні оператори, то операторA+Bкомпактний.
Доказ. НехайM- обмежена безліч. В образі (A+B) (M) візьмемо послідовністьyn= (A+B) (xn). У силу компактності оператораAз послідовностіAxnможна виділити схожу підпослідовність, а в силу компактностіB- з підпослідовності схожу підпослідовність. Підпослідовність сходиться, отже, безліч (A+B) (M) предкомпактно і операторA+Bкомпактний. Властивість доведено.
Доказ. Дійсно, якщоM- обмежена множина вX, тоA(M) предкомпактно і так як поступово безперервне відображення переводить предкомпактное безліч в предкомпактное (див. зауваження 13.1 курсу «Функціональний аналіз. Частина 1»), тоB(A(M) ) предкомпактноY1.
ЯкщоM- обмежена множина вX1, тоC(M) - обмежена множини вXі оскільки операторAкомпактний,A(C(M) ) є передкомпактна безліч.
Зокрема, оператор множення на числоlобмежений і, отже,lA– компактний оператор.
3. Якщо послідовністьAnÎK(X,Y) компактних операторів сходиться за нормою до оператораAÎL(X,Y), тоA- компактний оператор.
Доказ. НехайM– обмежена множина вXіx£CдляxÎM. Для доказу передкомпактності множиниA(M) скористаємося теоремою Хаусдорфа (теорема 13.1 курсу «Функціональний аналіз. Частина 1») та для будь-якогоe> 0 побудуємо кінцевуe-мережа для множиниA(M). Спочатку виберемо номерn0 так, щоб . Безліч передкомпактно. НехайS= (s1, ¼,sm) - кінцева (e/ 2)-мережа для . Покажемо, щоSєe-мережею дляA(M). НехайyÎA(M), тобтоy=Ax,xÎM. Існуєsiтаке, що . Тоді
,
що й потрібно було довести.
4. Оператор, пов'язаний з компактним, є компактним.
Доказ. ЯкщоAÎK(X,Y), тоL(Y',X'). НехайM- обмежена множина вY'іf£cдляfÎM. Тоді дляg=A'fмаємо
, (3)
деS- одиничний шар вX, . МножиноюA(S) предкомпактно, a компактноY. Функціоналуgпоставимо у відповідність звуження функціоналуfна множинуT, тобто елемент просторуC(T) безперервних функцій. Формула (3) показує, що це відповідність ізометрично. Тому достатньо довести передкомпактність уC(T) множиниMфункціоналівf, для чого перевіримо виконання умов теореми 13.5 курсу «Функціональний аналіз. Частина 1". Дійсно, дляyÎTf(y) £fy£cAx£cA, тобтоMрівномірнообмежено.
З властивостей 1 – 3 випливає, що безлічK(X,Y) компактних операторів є замкнутим лінійним підпростором у просторіL(X,Y) лінійних обмежених операторів.
З2 ° і властивості 3 випливає, що межа послідовності операторів кінцевого рангу є компактним оператором. Для гільбертових просторів (і банахових з рахунковим базисом) правильне і зворотне: будь-який компактний оператор є межею послідовності операторів кінцевого рангу, що сходить за нормою,An=PnAPn, деPn– проектор першіnбазисних векторів.
Існують сепарабельні банахові простори, в яких є компактні оператори, які не є межами послідовностей операторів кінцевого рангу. Вперше приклад такого простору було побудовано П. Енфло у 1972 році і тим самим було отримано вирішення відомої проблеми С. Банаха.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком: