Ознака ділимості на 4, приклади, доказ ознаки
Продовжуємо вивчати ознаки подільності. У цій статті розібранийознака ділимості на 4. Спочатку дана його формулювання та наведені приклади використання. Далі показано доказ ознаки поділення на 4 . На закінчення розглянуті підходи, що дозволяють доводити подільність на 4 чисел, заданих у вигляді значення буквеного виразу.
Навігація на сторінці.
Ознака ділимості на 4, приклади
Щоб перевірити, чи ділиться на 4 це однозначне натуральне число, найпростіше виконати розподіл безпосередньо, з однозначних чисел на 4 діляться лише 4 і 8 . Розділити двозначне натуральне число на 4 також не складе труднощів (навіть при усному розподілі). Наприклад, 24 ділиться на 4 без залишку, так як 24:4 = 6, а 83 не ділиться націло на 4, так як 83:4 = 20 (зуп. 3) (при необхідності дивіться статті правила та приклади поділу натуральних чисел і правила та приклади поділу натуральних чисел із залишком). Але що більше цифр міститься у записі числа, то «неприємніше» проводити розподіл.
Для більш простої перевірки ділимості даного багатозначного числа існує ознака ділимості на 4 , який зводить дослідження даного числа a на його здатність ділитися на 4 до перевірки на ділимість однозначного або двозначного числа. Наведемо формулювання цієї ознаки. Ціле число a ділиться на 4 якщо число, складене з двох останніх цифр у записі числа a (у порядку їх прямування) ділиться на 4 ; якщо складене число не ділиться на 4 , то і число a не ділиться на 4 .
Розглянемо приклади застосування ознаки подільності на 4.
Які з чисел −98 028 , 7 612 та 999 888 777 діляться на 4 ?
Скористаємося ознакою подільності на 4 .
Дві останні цифри цілогонегативного числа −98 028 дають число 28, оскільки 28 ділиться на 4 (28:4=7), те й число −98 028 ділиться на 4 .
Дві останні цифри числа 7612 становлять число 12 , а 12 ділиться на 4 ( 12:4 = 3 ), отже, 7612 ділиться на 4 .
Нарешті, дві останні цифри числа 999888777 дають число 77, так як 77 не ділиться націло на 4 (77: 4 = 19 (ост.1)), то і вихідне число не ділиться на 4.
А як застосовувати ознаку подільності на 4, якщо дві останні цифри в записі числа є, наприклад, 01, 02, 03, …, 09? У цих випадках цифру 0, що стоїть зліва, потрібно відкинути, після чого залишиться однозначне число 1, 2, 3, …, 9.
Чи ділиться числа 75 003 та −88 108 на 4?
Подивимося на дві останні цифри в записі числа 75 003 - бачимо 03 , відкидаємо нуль ліворуч і маємо число 3 . Так як 3 не ділиться на 4 , то за ознакою ділимості на 4 можна дійти невтішного висновку у тому, що 75 003 не ділиться на 4 .
Аналогічно дві останні цифри запису числа −88 108 становлять число 8 , бо 8 ділиться на 4 , те й число −88 108 ділиться на 4 .
75003 не ділиться на 4, а −88108 - ділиться.
Окремо потрібно сказати про числа, у запису яких праворуч дві поспіль цифри (або більша їх кількість) є нулями. Наведемо приклади таких чисел: 100, 893 900, 40 000, 373 002 000 і т.п. Такі числа поділяються на 4 . Обґрунтуємо це.
Число 100 ділиться на 4 . Дійсно, 100: 4 = 25 . Правило множення числа на 100 дозволяє представити будь-яке інше ціле число a запис якого закінчується двома нулями, у вигляді твору a1 · 100 де число a1 виходить з числа a якщо в його запису праворуч відкинути два нулі. Наприклад, 588 300 = 5 883 100 і 30 000 = 300 100 . А добуток a1 · 100 ділиться на 4 , так як містить множник 100який ділиться на 4 (дивіться властивості подільності). Так підтверджено, що будь-яке ціле число, в записі якого праворуч знаходяться два нулі, ділиться на 4 .
Доказ ознаки подільності на 4
Для доказу ознаки ділимості на 4 нам знадобиться таке уявлення натурального числа a. Будь-яке натуральне число a можна представити у вигляді a=a1·100+a0 , де число a1 виходить із числа a якщо у його запису прибрати дві останні цифри, а число a0 відповідає двом останнім цифрам у записі числа a . Наприклад, 5431 = 54 · 100 +31 . Якщо число a однозначне чи двозначне, то a=a0 .
Також нам знадобляться дві властивості ділимості:
- щоб ціле число a ділилося на ціле число b необхідно і достатньо, щоб модуль числа ділився на модуль числа b;
- якщо рівності a=s+t всі члени, крім якогось одного, діляться деяке ціле число b , те й один член ділиться на b .
Тепер можна навестидоказ ознаки ділимості на 4, яку ми попередньо переформулюємо у вигляді необхідної та достатньої умови ділимості на 4 .
Для ділимості цілого числа a на 4 необхідно достатньо, щоб число, що відповідає двом останнім цифрам у записі числа a , ділилося на 4 .
Для a=0 теорема очевидна.
Для інших цілих модуль числа a є число позитивне, і його можна представити як , Про що ми сказали перед теоремою.
Наприкінці першого пункту цієї статті ми показали, що твір a1 100 завжди ділиться на 4 . Якщо ще врахувати наведені перед теоремою властивості ділимості, то приходимо до таких висновків.
Якщо число a ділиться на 4 , то модуль числа a ділиться на 4 , тоді з рівності слід ділимість на 4 числа a0 . Цим доведено необхідність.
З іншогосторони з ділимості a0 на 4 і рівності слід ділити на 4 модулі a, звідки слід ділимість на 4 і самого числа a. Цим доведено достатність.
Інші випадки подільності на 4
Іноді потрібно перевірити поділення на 4 цілого числа, яке задано у вигляді значення деякого виразу. У таких випадках провести безпосередній поділ неможливо. Також використання ознаки подільності на 4 можливо далеко не завжди. Як же бути у цих випадках?
Основна ідея полягає у приведенні вихідного виразу до твору кількох множників, один із яких ділиться на 4 . У цьому випадку на підставі відповідної властивості ділимості можна буде зробити висновок про розподіл вихідного виразу на 4 .
Іноді отримати таку виставу допомагає формула бінома Ньютона. Наведемо приклад пояснення.
Чи ділиться на 4 значення виразу при деякому натуральному n?
Представимо 9 як 8+1, після чого скористаємося формулою бінома Ньютона:
Отриманий твір ділиться на 4, оскільки містить множник 4, а вираз у дужках є натуральним числом. Отже, ділиться на 4 за будь-якого натурального n .
Досить часто довести поділення на 4 деякого виразу дозволяє метод математичної індукції. Покажемо, як це робиться, скориставшись умовою попереднього прикладу.
Доведіть, що ділиться на 4 за будь-якого натурального n .
Покажемо, що з n=1 значення виразу ділиться на 4 . Маємо , а 4 ділиться на 4 .
Припустимо, що ділиться на 4 при n=k , тобто вважатимемо, що ділиться на 4 .
Доведемо, що ділиться на 4 при n=k+1 з огляду на те, що ділиться на 4 . .
В отриманій сумі перший доданок ділиться на 4 так як ми припустили,що ділиться на 4 . Друге доданок також ділиться на 4 , оскільки містить множник 4 . Отже, вся сума поділяється на 4 .
Так методом математичної індукції доведено, що ділиться на 4 за будь-якого натурального n .
Ще один підхід до доказу ділимості деякого виразу на 4 полягає в наступному. Якщо показати, що значення заданого виразу (зі змінною n ) при n = 4 · m , n = 4 · m + 1 , n = 4 · m +2 і n = 4 · m +3 , де m - ціле число, ділиться на 4, то цим буде доведено подільність вихідного виразу на 4 для будь-якого цілого числа n.
Доведіть, що значення виразу за будь-якого цілого n ділиться на 4 .
При n=4·m маємо . У цьому творі міститься множник 4 а інші множники є цілими числами, тому весь твір ділиться на 4 .
При n=4·m+1 маємо У отриманому творі міститься множник 4 тому воно ділиться на 4 .
При n=4·m+2 отримуємо У цьому творі міститься множник 8, що ділиться на 4, тому весь добуток ділиться на 4 .
При n=4·m+3 маємо Отриманий твір ділиться на 4, оскільки містить множник 4 .
Так доведено подільність вихідного виразу на 4 за будь-якого цілому n .