Пентагональнийікосітетраедр

Пентагональний ікоситетра́едр(від др.-грец. πέντε - «п'ять», γωνία - «кут», εἴκοσι - «двадцять», τέτταρες - «чотири» і ? тіло), двоїстий курносому кубу. Складено з 24 однакових неправильних п'ятикутників.

Має 38 вершин. У 6 вершинах (розташованих так само, як вершини октаедра) сходяться по 4 грані своїми гострими кутами; у 8 вершинах (розташованих так само, як вершини куба) сходяться по 3 грані тими тупими кутами, які далі від гострого; в решті 24 вершин дві грані сходяться своїми тупими кутами, ближніми до гострого, і одна — тупим кутом, далеким від гострого.

6 вершин розташовані так само, як вершини октаедра

8 вершин розташовані так само, як вершини куба

У пентагонального ікоситетраедра 60 ребер - 24 "довгих" і 36 "коротких".

На відміну від більшості інших каталанових тіл, пентагональний ікосітетраедр (поряд з пентагональним гексеконтаедром) є хіральним і існує у двох різних дзеркально-симетричних (енантіоморфних) варіантах – «лівому» та «правому».

• Метричні характеристики та кути
• Посилання

Метричні характеристики та кути

При визначенні метричних властивостей пентагонального ікоситетраедра доводиться вирішувати кубічні рівняння і користуватися кубічним корінням — тоді як для ахіральних каталанових тіл не потрібно нічого складнішого за квадратні рівняння і квадратні корені. Тому пентагональний икоситетраэдр, на відміну більшості інших каталанових тіл, не допускає евклидова побудови . Те ж саме і для пентагонального гексеконтаэдра, і навіть для двоїстих їм архимедовых тел.

Як і для курносого куба, при описі метричнихвластивостей і кутів пентагонального ікоситетраедра важливу роль відіграє константа трибоначчі:

t = 1 3 ( 1 + 19 − 3 33 3 + 19 + 3 33 3 ) ≈ 1,839 2868. &left(1+)>>> 18392868.>

Якщо три «короткі» сторони грані мають довжину b , то дві «довгі» сторони мають довжину.

a = t + 1 2 b ≈ 1,419 6434 b. >b\approx 14196434b.>

Площа поверхні та обсяг багатогранника при цьому виражаються як

S = 3 ( t + 1 ) 22 ( 5 t − 1 ) 4 t − 3 b 2 ≈ 54,796 5494 b 2 , >>\;b^\approx 547965494b^,> V = t ( 3 t + 1 ) ( t − 1 ) 2 − t b 3 ≈ 35,630 2020 b 3 . >>>\;b^\approx 356302020b^.>

Радіус вписаної сфери (що стосується всіх граней багатогранника в їх центрах вписаних кіл) при цьому дорівнюватиме

r = 1 2 t + 1 ( 3 − t ) ( 2 − t ) b ≈ 1,950 6813 b , >>>\;b\approx 19506813b,>

радіус напіввписаної сфери (що стосується всіх ребер)

ρ = 1 2 t + 1 2 − t b ≈ 2,101 5939 b , >>\;b\approx 21015939b,>

радіус кола, вписаного в грань

r Γ P = ρ 2 − r 2 = 1 2 t + 1 3 − t b ≈ 0,782 0097 b , >=-r^>>=>>>\;b\approx 07820097b,&

діагональ грані, паралельна одній із «коротких» сторін.

e = t b ≈ 1,839 2868 b. 8392868b.>

Описати біля пентагонального ікосітетраедра сферу — так, щоб вона проходила через усі вершини, — неможливо.

Усі чотири тупі кути грані рівні arccos 1 − t 2 ≈ 114 , 81 ∘ ; >\approx 11481^;> гострий кут грані (між «довгими» сторонами) дорівнює arccos (2−t) ≈ 80 , 75 ∘ . 75^.>

Двогранний кут за будь-якого ребра однаковий і дорівнює arccos t − 1 t − 3 ≈ 136 , 31 ∘ . >\approx 13631^.>

---