Субнормальні підгрупи груп та їх властивості.
Визначення 17Нехай - деяка непуста формація. Дотримуючись Л.А. Шеметкову, підгрупа групи називається:
1) -субнормальний, якщо існує максимальний ланцюг
така, що для будь-якого підгрупа -нормальна;
2) -абнормальної, якщо для будь-якого максимального ланцюга
підгрупа - абнормальна для будь-якого.
У цьому розділі вивчаються групи, у яких будь-яка непоодинока підгрупа або -абнормальна, або -субнормальна.
Отримані результати будову таких груп знайшли успішне застосування у роботі низки математиків (див., наприклад, ).
Лемма 18Нехай - непуста спадкова формація. Якщо - субнормальна підгрупа, то субнормальна підгрупа.
Proof.Нехай - субнормальна підгрупа групи. Якщо , то лема очевидна. Нехай. Тоді міститься в максимальній -нормальній підгрупі групи. За індукцією - субнормальна підгрупа. Оскільки і - спадкова формація, то . Звідси. А це означає, що . Так як - нормальна підгрупа групи, то - субнормальна підгрупа. Лемма доведена.
У наступних лемах наведені відомі властивості субнормальних підгруп.
Лемма 19Нехай - непуста спадкова формація. Тоді:
1) якщо - підгрупа групи і, то - субнормальна в;
2) якщо -субнормальна -, - підгрупа групи, то -субнормальна -;
3) якщо і субнормальні підгрупи, то субнормальна підгрупа;
4) якщо -субнормальна -, а -субнормальна -, то -субнормальна -;
5) якщо всі композиційні фактори групи належать формації, то кожна субнормальна підгрупа групи є субнормальної;
6) якщо - субнормальна підгрупа групи, то-субнормальна для будь-яких .
Лемма 20Нехай - непуста формація, - підгрупа групи, - нормальна підгрупа з . Тоді:
1) якщо -субнормальна -, то -субнормальна - і -субнормальна -;
2) якщо , то - субнормальна в тоді і тільки тоді, коли - субнормальна в .
Лемма 21Нехай - локальна формація, - група, кожна непоодинока власна підгрупа якої або -абнормальна, або -субнормальна. Тоді справедливі такі твердження:
2) якщо , то - розв'язувана група така, що , де , .
Proof.Нехай. Вочевидь, будь-яка максимальна підгрупа з -субнормальна в , отже -нормальна в . Оскільки - локальна формація, то .
Нехай. Покажемо, що - роздільна група. Нехай - будь-яке просте число таке, що . Вочевидь, будь-яка власна підгрупа з -абнормальна в . Зважаючи на те, що отримуємо . Звідси випливає - дозвіл групи.
Розглянемо підгрупу, де - будь-яке просте число. Вище ми показали, що . По теоремі 15.1 з -проектор групи. По теоремі 15.7 з -проектори групи пов'язані. І це означає, що , де , . Лемма доведена.
Лемма 22Нехай - локальна спадкова формація. Якщо кожна непоодинока підгрупа групи -абнормальна, або -субнормальна, то справедливі такі твердження:
1) кожна-субнормальна підгрупа з ;
2) підгрупа тоді і тільки тоді є -проектором групи , коли - додавання до ;
Proof.1) Нехай - субнормальна підгрупа з , - максимальна підгрупа з . Очевидно, що субнормальна підгрупа групи. З леми отримуємо, що нормальна в . Оскільки - локальна формація, то .
2) Нехай - проектор групи. Звідси. Нехай,. Відповідно до умови-абнормальна, або-субнормальна. Якщо субнормальна в , то , де - нормальна максимальна підгрупа з . Враховуючи, що , отримуємо . Протиріччя. Отже, і є додаванням до .
Нехай - додавання до ст. Тоді по лемі 11.1 зланцюг
Як і вище, легко показати, що - абнормальна в . Крім того,
Оскільки - локальна формація, то . По теоремі 15.1 отримуємо, що - -проектор групи .
3) Не обмежуючи спільності, вважатимуться, що . І тут дорівнює прямому добутку деякого числа мінімальних нормальних підгруп з . Нехай – одна з них. Оскільки , то знайдеться максимальна підгрупа така, що . Якщо нормальна, то з пункту 1) випливає, що . Звідси по теоремі 15.10 випливає, що . Протиріччя. Отже, - абнормальна в. Звідси по теоремі 8.1 отримуємо, що -ексцентральний головний фактор групи. Неважко помітити, що . А це означає, що . Лемма доведена.
Позначимо через - клас всіх кінцевих груп, які мають будь-яка власна непоодинока підгрупа -субнормальна, або -абнормальна.
Лемма 23Нехай, де - локальна формація. Тоді справедливі такі твердження:
1) група монолітична з монолітом
2) - -група для деякого простого;
3) - -ексцентральний головний фактор;
5) якщо група неабелєва, то її центр, комутант та підгрупи Фраттіні збігаються і мають експоненту;
6) якщо абелева, вона елементарна;
7) якщо , то - експонента; при експоненті не перевищує 4;
8) для будь-якої -абнормальної максимальної підгрупи з має місце
9) будь-які дві-абнормальні максимальні підгрупи групи пов'язані в;
10) якщо і підгрупа містить, то для будь-якого повного локального екрану формації;
11) якщо --Абнормальна максимальна підгрупа групи і - деякий повний локальний екран, то - мінімальна не-група і або, або.
Лемма 24Нехай - локальна спадкова формація. Тоді .
Proof.Нехай. З леми випливає, що - головний фактор групи. Нехай - непоодинока власна підгрупа з. Якщо, то максимальна підгрупа групи. Зрозуміло, що - абнормальна в . Якщо , то по лемі - субнормальна в . Очевидно, що . А це означає, що субнормальна в . Отже, - субнормальна підгрупа групи . Отже, . Лемма доведена.
Нагадаємо, що де - пробігає всі прості числа.
Лемма 25Нехай - розв'язувана група та . Тоді або , або - силовська підгрупа .
Proof.Якщо примарна, то лема очевидна. Нехай непримарна і є групою для деякого простого числа. Оскільки і немає нормальних -підгруп, то - силовська -підгрупа в . Лемма доведена.
Лемма 26Нехай - локальна спадкова формація, - розв'язувана група, та . Тоді і тільки тоді, коли справедливі такі твердження:
2) кожна власна-субнормальна підгрупа належить.
Proof.Необхідність. Нехай, причому і. Покажемо, що – холлівська підгрупа з . Нехай і - мінімальна нормальна підгрупа групи , що міститься в . Зрозуміло, що
За індукцією - холлівська підгрупа з. Якщо ділиться на , то . Нехай, то
Протиріччя. Отже, і – холлівська підгрупа з . Нехай не поділяється на . По узагальненій лемі Фраттіні
Ясно, що – холлівська підгрупа з . Якщо, то за індукцією - холлівська підгрупа. Звідси і – холівська підгрупа. Якщо то . Отже, . Оскільки , то, враховуючи лему , розглянемо такі два випадки:
1) має нормальну силівську підгрупу.Якщо то . По лемі. Отже, . Нехай де. Зрозуміло, що і . За індукцією - холлівська підгрупа з. По лемі 1.2 із. По лемі. Отже, - холловська підгрупа з;
2). Нехай і - мінімальні нормальні підгрупи з , причому - -група - -група. Якщо то . Звідси. За індукцією - холлівська підгрупа з. Отже, - холлівська підгрупа з . Нехай і. За індукцією і - холлівські підгрупи з і відповідно. Нехай. Якщо то . Звідси ділиться на . Нехай. Тоді й ділиться на . Отже, – холлівська підгрупа групи. Отже,
По лемі-проектор. Твердження 2) випливає з леми.
Достатність. Нехай - власна непоодинока підгрупа. Тоді, де,. Якщо , то по теоремі 15.1 з , а отже і , - абнормальна. За умовою . Звідси-субнормальна в, отже, і в. Отже, . Лемма доведена.
Лемма 27Нехай - формація всіх надрозв'язних груп, - ненадрозмірна група з . Тоді справедливі такі твердження:
1) , , - проектор , - Дисперсивна група;
2) або група Міллера-Морено, або примарна абелева група.
Proof.На початку доведемо дисперсивність групи. Відповідно до леми - надрозв'язна. Звідси випливає, що група можна розв'язати. Нехай - найбільший простий дільник. Зрозуміло, що нормальна у . Якщо , то по лемі надроздільна. Звідси нормальна в. Очевидно, що . За індукцією диспресивна. А це означає, що є дисперсивною. Нехай. Покажемо, що . Припустимо, що . Нехай - силівська-підгрупа з . По лемі надрозв'язна, а значить, нормальна в . Оскільки , то неважко помітити, що - абнормальна. По теоремі 15.1 з-проектор. По лемі - додавання до ст. Отже,
По лемі Фраттіні
Якщо , це суперечить з того що . Отже, нормальна у . Звідси,тобто. . З урахуванням індукції отримуємо дисперсивність групи. Зрозуміло, що . По лемі , де -проектор і . Доведемо твердження 2). Не обмежуючи спільності, вважаємо, що . Покажемо, що . Справді, нормальний у , причому . Тому - нормальна підгрупа. Звідси, де - максимальна-нормальна підгрупа. По лемі. Отже, . Протиріччя. Отже,
Нехай. Враховуючи лему 1.4 6, отримуємо надроздільність . Звідси нільпотентний. Оскільки , то неважко показати, що , тому абелева. Якщо абелева, то зважаючи на лему 1.4 6 і наслідки 4.8 2 з примарна. Лемма доведена.
Поряд з поняттям - субнормальності природним узагальненням субнормальності є поняття - досяжність, введене Кегелем у роботі.
Визначення 28Назвемо підгрупу -досяжною, якщо існує ланцюг підгруптакий, що для будь-якого або підгрупа нормальна в , або .
Зазначимо, що для будь-якої непустої формації безліч всіх -досяжних підгруп довільної групи містить безліч всіх субнормальних підгруп групи і безліч всіх субнормальних підгруп групи . Якщо - непуста нільпотентна формація, то безліч всіх -досяжних підгруп точно збігається з безліччю всіх субнормальних підгруп для довільної групи .
Розвиваючи, зазначений вище класичний результат Віландта, Кегель у роботі встановив, що безліч всіх -досяжних підгруп у будь-якій кінцевій групі утворює грати, якщо - спадкова, замкнута щодо розширень формація. У цій же роботі Кегель поставив завдання відшукати нові класи груп, що володіють тією властивістю, що безліч всіх-досяжних підгруп у будь-якій кінцевій групі утворюють ґрати.
Визначення 29Нехай - непустий клас Фіттінга. Підгрупа групи називається -ін'єктором в , якщо для будь-якоїсубнормальна підгрупа групи перетину є -максимальною підгрупою в . Непорожній клас Фіттінга називається нормальним у класі груп (), якщо будь-яка -група має нормальний -ін'єктор. Очевидно, тоді і тільки тоді непорожній клас Фіттінга є нормальним у класі, коли є -ін'ектором для будь-якої -групи.
Лемма 30Нехай - непуста спадкова формація. Тоді справедливі такі твердження:
1) якщо - підгрупа і, то - досяжна підгрупа групи;
2) якщо - досяжна підгрупа групи, то - досяжна підгрупа для будь-якої підгрупи групи;
3) якщо - досяжна підгрупа і - досяжна підгрупа групи, то - досяжна підгрупа групи;
4) якщо і -досяжні підгрупи групи, то -досяжна підгрупа групи.
1) Нехай - підгрупа групи, що містить. Відповідно до леми - субнормальна підгрупа групи. Оскільки будь-яка -субнормальна підгрупа групи є -досяжною в , то -досяжна підгрупа групи .
2) Нехай - досяжна підгрупа групи. Тоді, за визначенням, існує ланцюг підгруп
така, що для будь-якого або підгрупа нормальна в або .
Нехай - деяка підгрупа. Розглянемо ланцюг підгруп:
Якщо підгрупа нормальна у , то підгрупа нормальна у . Нехай. Оскільки формація спадкова, то слід, що
Тепер через ізоморфізм маємо
Так як, то. Отже, кожному за чи підгрупа нормальна в , чи . Звідси, за визначенням, - досяжна підгрупа групи.
Твердження 3) випливає безпосередньо з визначення досяжності.
Твердження 4) випливає тепер із затвердження 2) та 3). Лемма доведена.