Теореми про ізоморфізм - це

Теореми про ізоморфізмв алгебрі - ряд теорем, що пов'язують поняття фактора, гомоморфізму і вкладеного об'єкта. Твердженням теорем є ізоморфізм певної пари груп, кілець, модулів, лінійних просторів, алгебр Лі або інших алгебраїчних структур (залежно від галузі застосування). Зазвичай нараховують три теореми про ізоморфізм, звані Першою (також <основна теорема про гомоморфізм ), Другою та Третьою. Хоча подібні теореми досить легко випливають із визначення фактора і честь їх відкриття нікому особливо не приписується, вважається, що найбільш загальні формулювання дала Еммі Нетер.

Зміст

Перша теорема

Нехай гомоморфізм груп, тоді:

1. Ядро φ - нормальна підгрупа в G;
2. Образ φ - підгрупа в H;
3. Образ φ ізоморфний фактор групи G / ker φ.

Зокрема, якщо гомоморфізм φ сюр'єктивний (тобто є епіморфізмом), то група H ізоморфна фактор групи G / ker φ.

Друга теорема

Нехай G — група, S — підгрупа G , N — нормальна підгрупа G , тоді:

1. Твір - підгрупа в G;
2. Перетин S ∩ N - нормальна підгрупа в S;
3. Факторгрупи і S/(S∩N) ізоморфні.

Третя теорема

Нехай G — група, N і K — нормальні підгрупи G такі, що K ⊆ N , тоді:

1. N/K - нормальна підгрупа в G/K;
2. Факторгрупа факторгруп (G/K)/(N/K) ізоморфна факторгрупі G/N.

У цій галузі поняття нормальної підгрупи замінюється поняття ідеалу кільця.

Перша теорема

Нехай гомоморфізм кілець, тоді:

1. Ядро φ - ідеал в R;
2. Образ φ - підкільце в S;
3. Образ φ ізоморфний фактор кільця R / ker φ.

Зокрема, якщо гомоморфізм φ сюр'єктивний (тобто є епіморфізмом), то кільце S ізоморфне фактор кільцю R/ker φ.

Друга теорема

Нехай R - кільце, S - підкільце в R , I - ідеал в R тоді:

1. Сума S + I - підкільце в R;
2. Перетин S ∩ I — ідеал у S;
3. Факторкільця (S + I) / I і S / (S∩I) ізоморфні.

Третя теорема

Нехай R - кільце, A і B - ідеали в R такі, що B ⊆ A тоді:

1. A/B - ідеал в R/B;
2. Факторкільце факторкілець ( R / B ) / ( A / B ) ізоморфний фактор кільця R / A .

Модулі, абелеви групи та лінійні простори

Теореми про ізоморфізм абелевих груп і лінійних просторів є окремим випадком теорем для модулів, які і будуть сформульовані. Для лінійних просторів додаткову інформацію можна знайти у статті "ядро лінійного відображення".

Перша теорема

Нехай - гомоморфізм модулів, тоді:

1. Ядро φ - підмодуль в M;
2. Образ φ - підмодуль в N;
3. Образ φ ізоморфний фактор модулю M/ker φ.

Друга теорема

Нехай M - модуль, S і T - підмодулі M , тоді:

1. Сума S + T - підмодуль в M;
2. Перетин S ∩ T — підмодуль M ;
3. Фактор модуль (S + T) / T ізоморфний фактор модулю S / (S ∩ T).

Третя теорема

Нехай M — модуль, S і T — підмодулі M такі, що T ⊆ S , тоді:

1. S / T - підмодуль в M / T;
2. Фактор безліч факторів модулів ( M / T ) / ( S / T ) ізоморфний фактор модулю M / S .

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитися що таке "Теореми про ізоморфізм" уінших словниках:

Факторпростір по підпростору — Факторпростір по підпростору в лінійній алгебрі важливий окремий випадок факторпросторів. Зміст 1 Визначення 2 Фактор відображення … Вікіпедія

Алгебра (універсальна алгебра) — Не слід плутати з універсальною алгеброю розділом математики, що вивчає структури цього виду. Алгебра (універсальна алгебра) безліч, зване носієм алгебри, забезпечене набором арних алгебраїчних операцій на, … … Вікіпедія

ПОДВІЙНІСТЬ — 1) Д. в алгебраїчній геометрії двоїстість між різними просторами когомологій на алгебраїч. різноманіттях. Когомологія когерентних пучків. Нехай X неособливе проектне алгебраїч. різноманіття розмірності над алгебраїчно замкнутим … Математична енциклопедія

---