Теоретико-множинний зміст додавання та віднімання
Питання про арифметичні дії є центральним у початковому курсі математики. Від правильного його вирішення залежить успіх формування понять про самі дії, їх властивості, а також умінь та навичок обчислень.
При традиційному підході до навчання молодших школярів конкретний зміст кожної дії розкривається в процесі виконання операцій над кінцевими множинами (об'єднання множин без загальних елементів, видалення частини множини, об'єднання множин однакової чисельності, розкладання даної множини на ряд рівночисленних множин), що дозволяє спертися на життєвий дітей і використовувати наочність щодо всіх питань, що з діями.
В курсі математики початкової школи знаходить відображення теоретико-множинний підхід до тлумачення додавання та віднімання цілих невід'ємних чисел, відповідно до якого додавання пов'язане з операцією об'єднання, віднімання – з операцією доповнення. [3, С.28]
Складання з точки зору визначення суми в кількісній теорії числа, називається число елементів в об'єднанні множин А і B, що не перетинаються, таких, що a=n (A); b = n (B). [6, С.265]
У програмі математики М.І.Моро як основний засіб формування уявлень про сенс дій складання та віднімання виступають прості текстові завдання. [3, С.28] У програмі Н.Б. Істоміною в основі лежить виконання учнями предметних дій, та їх інтерпретація у вигляді графічних та символічних моделей.
Для роз'яснення дії додавання та віднімання використовуються:
1. текстові завдання;
2. предметні моделі;
3. графічні моделі;
4. символічні моделі;
Вербальні моделі.
Можна умовно виділити три видиситуацій, пов'язаних з дією додавання:
1. складання однієї предметної множини з двох даних;
2. збільшення даної предметної множини на кілька предметів;
3. збільшення на кілька предметів безліч рівносильне даному. [3, С.29]
Складання однієї предметної множини з двох даних.
Наприклад, дітям пропонується картинка на якій Мишко та Маша запускають рибок в акваріум.
Завдання: «Розкажіть, що роблять Мишко та Маша?»
Відповіді дітей: Запускають рибок в один акваріум; разом запускають рибок; Мишко запускає 2, а Маша -3 та ін.
Числові вирази під картинкою. Аналізуючи вирази, діти знаходять відповідне: 2+3 та 3+2.
З'ясовується, чим схожі і як по-різному можна прочитати ці вирази. Діти кажуть, що схожі числами та знаком. Можна прочитати: 2 плюс 3, і до 2-розум додати 3.
У результаті діти записують рівність, знайомляться з компонентами додавання. Після, числові рівності інтерпретуються на числовому промені.
Збільшення даної предметної множини на кілька на кілька предметів
Вказівкою до виконання предметних дій може стати завдання: «Покажи…».
Наприклад, вчитель пропонує завдання: «Коли мав 4 марки. Йому подарували ще 2. Покажи скільки марок стало у коли?»
Діти викладають 4 марки (коло, квадрат, трикутник) і показують рухом руки скільки марок було. Потім, додають 2 марки та рух руки показують скільки стало. Далі з'ясовується, як можна записати виконану предметну дію, використовуючи для цієї мети цифри та знак «=» і «+»: 4+2=6. Доцільно цьому етапі вживати терміни «вираз» і «рівність».
Збільшення накілька предметів безлічі рівносильного даному.
Наприклад, вчитель дає завдання: На одній тарілці 5 яблук, а на іншій на 3 яблука більше. Покажи скільки яблук на другій тарілці?
У процесі виконання таких предметних дій, у школярів формуються поняття «більше на…» («збільшити на…»), уявлення про яке пов'язані з побудовою сукупності рівночисленної даної («взяти стільки ж»), та її збільшенням на кілька предметів («І ще»). [3, С.30]
З теоретико-множинних позицій різниця натуральних чисел a і b являє собою число елементів у доповненні множини B множини А, якщо а=n(A), b=n(B) і підмножина А. [6, С.266 ]
При формуванні у дітей уявлень про віднімання можна умовно орієнтуватися на такі предметні ситуації:
Зменшення даної предметної множини на кілька предметів (предмети, що видаляються, закреслюються).
Наприклад, пропонується завдання: «У Маші було шість куль. Два вона подарувала Тані. Покажи кулі, які залишилися в неї?» Діти малюють 6 куль, 2 закреслюють і показують рухом руки кількість куль, що залишилися. Діти одержують вираз 6-2 або рівність 6-2=4.
2. Зменшення множини, рівносильної даному, на кілька предметів. [3, С.31]
У процесі виконання таких ситуацій у дітей формується уявлення про поняття «менше на…» («зменшити на…»), які пов'язані з побудовою сукупності, рівносильної даної, та її зменшенням на кілька предметів. Засвоєння понять «більше на…», «менше на…» дається дітям легше, якщо організувати їхню діяльність, використовуючи предметні та символічні моделі. Наприклад: Порівняй картинки. Що змінилося зліва направо? Що змінилося праворуч наліво?
3.Порівняння двох предметних множин, тобто. відповідь на запитання: «На скільки предметів в одній множині більше (менше), ніж в іншій?». [3, С. 31]
У процесі виконання даних дій у учнів формується уявлення про віднімання, як про дію, яка пов'язана із зменшенням кількості предметів. [3, С.32] В результаті у першокласника формується уявлення про різницю, яке можна узагальнити в правило: «Що б дізнатися на скільки одне число більше (менше) іншого, потрібно від більшого числа відняти менше». [3, С.34] Наприклад: На скільки більше сердець, ніж хмар?
Формування обчислювальних умінь і навиків – одне з основних завдань початкового курсу математики. [3, З. 42] Обчислювальне вміння – це розгорнуте здійснення дії, у якому кожна операція усвідомлюється і контролюється. [3, С. 42] На відміну від уміння навички характеризуються згорнутим, значною мірою автоматизованим виконанням дії, з пропуском проміжних операцій, коли контроль переноситься на кінцевий результат. [3, С.42]
У початковому курсі математики учні повинні засвоїти лише на рівні навыка:
1.таблицю складання (віднімання) у межах 10;
2.таблицю складання однозначних чисел з переходом через розряд і відповідні випадки віднімання;
3.таблицю множення та відповідні випадки поділу. [3, С.43]
Методика ознайомлення учнів зі складанням та відніманням у межах 10
Підхід у підручнику М.І.Моро до формування навичок складання та віднімання в межах 10 передбачає усвідомлене складання таблиць та їх мимовільне чи довільне запам'ятовування у процесі спеціально організованої діяльності. Усвідомлене складання таблиць може забезпечуватися теоретичною лінією курсу,предметними діями, методичними прийомами та наочними засобами. Для довільного та мимовільного запам'ятовування таблиць використовується спеціальна система вправ. [3, С.43]
Таблиці складання та віднімання в межах 10 можна умовно розділити на чотири групи, кожна з яких пов'язана з теоретичним обґрунтуванням та відповідним способом дії:
1) принцип побудови натурального ряду чисел - прирахування та відрахування по 1;
2) зміст додавання та віднімання – прирахування та відрахування по частинах;
3) переміщувальна властивість додавання - перестановка доданків;
Взаємозв'язок складання та віднімання – правило: якщо від значення суми відняти одне доданок, то отримаємо інше доданок.
У формуванні обчислювальних навичок у шкільній практиці використовуються різні підходи:
a) вивчення таблиць;
b) знайомство з різними обчислювальними прийомами, самостійне складання таблиць, мимовільне запам'ятовування у процесі виконання вправ;
c) після використання предметних дій та обчислювальних прийомів, учневі дається установка на запам'ятовування. [3, С.44]
У підручнику Н.Б. Істоміною щодо табличних випадків складання (віднімання) орієнтир спрямовано засвоєння складу числа.
Це пов'язано з тим, що вивчення таблиці з послідовним складанням кожної групи додавання (віднімання) відповідно до виділених етапів, на практиці не завжди виявляється ефективним для формування автоматизованих навичок додавання та віднімання в межах 10.
Справа в тому, що, формуючи навички табличного значення « + 2», вчитель спочатку фіксує увагу дітей на обчислювальному прийомі, що включає операції, які убільшості сформовані лише на рівні обчислювального досвіду (6+1+1; 7+1+1). Паралельно ведеться аналогічна робота з випадком «-2». Потім складаються дві таблиці: 1+2, 2+2, 3+2 тощо. І 3-2, 4-2, 5-2 і т.д. Вчитель дає завдання вивчити таблицю, тобто запам'ятати 16 випадків. [3, С.45]