Випуклий конус
Зміст
ПідмножинаCвекторного просторуVєопуклим конусом, якщо αx+ βyналежитьCдля будь-яких позитивних скалярів α, β і будь-якихx,yзC.
Визначення можна записати більш стисло: «αC+ βC=C» для будь-яких позитивних чисел α, β.
Поняття має сенс будь-яких векторних просторів, у яких існує поняття «позитивний» скаляр, такі як простір над раціональними, алгебраїчними чи (найчастіше) речовими числами.
Порожня безліч, простірVі будь-який лінійний підпростір просторуV(включаючи тривіальний підпростір 0>), є опуклими конусами за цим визначенням. Іншими прикладами служать безліч всіх творів на позитивне число довільного вектораvзV, або позитивний ортант просторуRn(множина всіх векторів, мають позитивні координати).
Більш загальний приклад — безліч всіх векторів λx, таких, що позитивний скаляр, аx— елемент деякого опуклого підмножиниXпросторуV. Зокрема, якщоV— нормований векторний простір, аX— відкрита (співвід. замкнута) куля уV, яка не містить0, ця конструкція даєвідкритий(соотв.замкнутий)опуклий круговий конус.
Перетин двох опуклих конусів у тому векторному просторі знову є опуклим конусом, але об'єднання таким може бути. [1] Клас опуклих конусів замкнуто щодо будь-яких лінійних відображень. Зокрема, якщоC— опуклий конус, то такий і його протилежний −C, аC∩ −Cє найбільшим лінійним підпростором ,що містяться вC. [2] . Такий підпростір називаєтьсялезом. [3]
Випуклі конуса та лінійні конуса
ЯкщоC— опуклий конус, то для будь-якого позитивного скаляра α і будь-якого вектораxізCвектор αx= (α/2 )x+ (α/2)xлежить уC. Звідси випливає, що опуклий конусCє окремим випадком лінійного конуса [en] .
Альтернативні визначення
Зі сказаного вище слід, що опуклий конус можна визначити як лінійний конус, замкнутий щодо опуклих комбінацій, або просто щодо складання. Коротше - безлічCє опуклим конусом тоді і тільки тоді, коли "αC=CіC+C=Cдля будь-якого позитивного скаляра α зV.
Слід зазначити, що фразу «позитивні скаляри α, β» у визначенні опуклого конуса можна замінити на «неотрицательные скаляри α, β, не рівні нулю одночасно».
Властивості опуклого конуса
- Перетин будь-якої кількості опуклих конусів знову є опуклим конусом. Тим самим опуклі конуси утворюють замкнуте сімейство (за операцією перетину).
- Конічна оболонка pos (X) (X)> - Це найменший опуклий конус, що містить цю множину.
Згідно з наведеними вище визначеннями, якщоCє опуклим конусом, тоC∪ 0> є опуклим конусом теж. Кажуть, що опуклий конусгострийчитупийзалежно від цього, належить йому нульовий вектор0чи ні [5] . Іноді вживають термінизагостренийі, відповідно,затуплений. [4] [6].
Тупі конуси можна виключити з визначення опуклого конуса, замінивши слова «неотрицательные» на «позитивні» умовах,що накладаються на α, β. Термін «гострий» часто використовується для замкнутих конусів, що не містять повних прямих (тобто нетривіального підпростору навколишнього простору), тобто те, що нижче називається конусом, що «виступає».
Гіперплощина(лінійна) просторуVє максимальним можливим власним лінійним підпростором просторуV.Відкрите(співвідн.замкнене)напівпростірпросторуV— це підмножинаHпросторуV, визначене умовоюL(x) > 0 (соотв.L(x) ≥ 0), деL- будь-яка лінійна функція зVу його скалярне поле. Гіперплощина, визначена рівняннямL(v) = 0, єобмежуючої гіперплощиноюдляH.
Напівпростори (відкриті чи замкнуті) є опуклими конусами. Однак будь-який опуклий конусC, який не є всім просторомV, повинен утримуватися в деякому замкнутому напівпросторіHпросторуV. Фактично топологічно замкнутий опуклий конус є перетином всіх замкнутих напівпросторів, що його містять. Аналогічне твердження правильне для топологічно відкритого опуклого конуса.
Кажуть, що опуклий конус єплоським(іноді -клином[3] ), якщо він містить деякий ненульовий векторxта його протилежний -x, івиступаючимв іншому випадку [6] .
Тупий опуклий конус завжди є промовцем, але зворотне не завжди вірне. Випуклий конусCє виступаючим у тому і тільки в тому випадку, колиC∩ −C⊆ 0>. Тобто тоді і лише тоді, колиCне містить нетривіального лінійного підпросторуV.
Досконалий напівпростірпросторуVвизначається рекурсивно наступним чином: якщоVмає розмірність нуль, то це безліч 0, в іншому випадку це відкритий напівпростірHпросторуVразом з досконалим напівпростором обмежує гіперплощини дляH. [7]
Будь-який досконалий напівпростір є виступаючим, і, більше того, будь-який виступає конус міститься у досконалому напівпросторі. Інакше кажучи, досконалі напівпростору є максимальними виступаючими конусами (за включенням). Можна показати, що будь-який гострий виступаючий конус (незалежно від того, чи замкнутий він топологічно чи відкритий) є перетином всіх досконалих напівпросторів, що включають його.
Плоский перетин
Афінна гіперплощинапросторуV- це будь-яке підмножина просторуVвидуv+H, деv- векторV, аH- (лінійна) гіперплощина.
Наступне твердження випливає з властивості включення до напівпростору. НехайQ— відкритий напівпростір уVіA=H+v, деH- гранична гіперплощинаQ, аv- будь-який вектор уQ. НехайC- лінійний конус, що міститься вQ. ТодіCє опуклим конусом у тому і тільки в тому випадку, коли безлічC′ =C∩Aє опуклим підмножиною гіперплощиниA(тобто безліччю, замкненою щодо опуклих комбінацій).
Внаслідок цього результату всі властивості опуклих множин афінного простору мають аналог для опуклих конусів, що містяться у фіксованому відкритому напівпросторі.
Сферичний перетин
Якщо дана норма у просторіV, ми визначаємоодиничну сферу вVяк безліч
Якщо значення • є скалярамиV, то лінійний конусCуV— це опуклий конус у тому й тільки в тому випадку, коли його сферичний перетинC′ ∩S(множина його векторів з одиничною нормою) є опуклим підмножиноюSу такому сенсі: для будь-яких двох векторівu,v∈C′ зu≠ −vвсі вектори на найкоротшому шляху зuуvнаSлежать уC′.
НехайC⊂V— опуклий конус у речовому векторному просторіV, що має скалярний добуток.Двійний конусдоC- це безліч [8] [9]
Він також є опуклим конусом. ЯкщоCзбігається зі своїм двоїстим,Cназиваєтьсясамовластивим.
Інше часте визначення двоїстого конуса дляC⊂V— це конусC*у сполученому просторіV*:
Інакше кажучи, якщоV*— сполучене простір просторуV, то двоїстий конус — це безліч лінійних функцій, неотрицательных на конусіC. Якщо ми приймемо, щоV*— безперервне сполучене простір, це безліч безперервних лінійних функцій, неотрицательных наC. [10] Таке визначення не вимагає наявності скалярного твору у просторіV.
У кінцевомірних просторах обидва визначення двоїстого конуса, по суті, еквівалентні, оскільки будь-який скалярний твір утворює лінійний ізоморфізм (невироджене лінійне відображення) зV*V, і цей ізоморфізм перекладає двоїстий конус ( вV*) з другого визначення двоїстий конус з першого визначення.
Гострий опуклий конусC, що виступає, породжує частковий порядок «≤» наV, який визначається так, щоx≤yтоді і лише тоді, колиy− x∈C. (Якщо конус плоский, те саме визначення дає просто передпорядок.) Суми і множення на позитивний скаляр вірної нерівності по відношенню до цього порядку знову дають вірні нерівності. Векторний простір з таким порядком називається впорядкованим векторним простором [en] . Конус
називаєтьсяпозитивним конусом[6] .
Як приклади можна навести порядковий твір [en] [11] на речових векторах (Rn) і порядок Левнера [12]
- Нехай задано замкнуте опукле підмножинуKгільбертового просторуV,нормальний конусдля множиниKз точкиxдоKзадається формулою. [2]
- Нехай задано замкнуте опукле підмножинаKпросторуV,дотичний конус [en]до множиниKз точкиxзадається формулою [14]
- Нехай задано замкнуте опукле підмножинуKгільбертового просторуV,зовнішній нормальний конусдо множиниKз точкиxвKзадається формулою [15]
- Нехай задано замкнуте опукле підмножинаKгільбертового просторуV,дотичний конусдо множиниKу точціxзKможна визначити як полярний конус[en]* до зовнішнього нормального конуса N K(x) (x)> : [16][17]
Нормальні та дотичні конуси замкнуті та опуклі. Вони є важливими концепціями у сфері опуклого програмування, варіаційних нерівностей [en] .