Вища математика (Інтеграли та диференціальні рівняння) - 02 семестр - До екзамену-заліку - Величезний архів шпор - шпори по матану - PDF - 20а

диференціальні

1). Інтегрування парних та непарних функцій на відрізку, симетричному щодо початку координат.

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx =

= − ∫ f ( − t ) dt + ∫ f ( x ) dx

( − x ) dx + ∫ f ( x ) d

∫ ( f ( − x ) + f ( x )) dx = , оскільки

f ( x ) + f ( x ) = 2 f ( x ) , f ( x ) − парна

f x f x 0, f x непар

Інтегрування періодичних функцій на відрізку довжини, кратної періоду.

Дві властивості періодичних функцій.

- періодична функція з періодом T, то f (? x) - періодична функція з

Доказів f α x +

Тому період sin 2 x дорівнює π, період cos

- періодична функція з періодом T, то

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx

f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx =

рівняння

Тому інтеграл від періодичної функції на відрізку, довжиною рівною періоду, можна обчислювати на будь-якому такому відрізку, результат буде тим самим.

Зауважимо, що ∫ sin x dx = 0,

∫ cos x dx = 0. Тому, наприклад,

Коли зустрічаються інтеграли від синусів і косінусів на відрізку довжини, кратної періоду, такі інтеграли обчислювати не варто, вони рівні нулю.

2). Неоднорідні системи ЛДУ:

Теорема : Загальне рішення неоднорідної системи dx/dt = A(t)x+g(t) є сума загального рішення, що відповідає їй однорідної системи dx/dt=A(t)x (g(t) / 0) та приватного рішення неоднорідної

= 1 Ck xk ( t ), де x * (t) - приватне рішення

системи dx/dt = A(t)x+g(t): x(t) = x * (t)+ ∑ k

неоднорідної системи, g(t) – A(t) – квадратна матриця, яка називається матрицею систему ОДУ.

x k (t) – ФСР відповідної однорідної системи dx/dt=A(t)x; C k - Деякі постійні коефіцієнти.

= 1 Ck xk (t) є рішеннямнеоднорідної системи dx/dt =

A(t)x+g(t). Якщо x(t) рішення неоднорідної системи dx/dt = A(t)x+g(t), то згідно

рішення однорідної системи dx/dt=A(t)x, яке можна уявити

x k (t). Ця формула визначає структуру загального рішення

неоднорідної системи dx/dt = A(t)x+g(t) як сукупність всіх окремих рішень цієї системи. Теорема (1): Різниця двох рішень неоднорідної системи ОДУ є рішення однорідної системи.