Визначення, 1 семестр, Кохась К

1. Упорядкована пара – сімейство з двох елементів.

2. Декартове твір множин X і Y - безліч упорядкованих пар (x; y): x [math] \in[/math] X, y[math] \in[/math] Y.

3. Операції над множинами:

[math] A \subset B [/math] (A є підмножиною B, кожен елемент А також належить В ( [math] \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B [/math] );
[math] A \cap B [/math] (Перетин множин А і В: [math] (x \in A) \wedge (x \in B) [/math] );
[math] A \cup B [/math] (Об'єднання множин А і В: [math] (x \in A) \vee (x \in B) [/math]);
[math] B \backslash A [/math] (Різниця множин: [math] (x \in B) \wedge (x \notin A) [/math] ;
[math] \varnothing [/math] - порожня множина:
[math] A \cup \varnothing = A [/math]
[math] A \cap \varnothing = \varnothing [/math]
[math] \forall A: \varnothing \subseteq A [/math]
[math] \bigcup\limits_ A_\alpha[/math] - об'єднання кількох множин. У випадку може складатися з нескінченної кількості множин:
[math] \bigcup\limits_ A_j = A_1 \cup A_2 \cup [/math] .
[math] \bigcup\limits_ A_x [/math]
[math] \bigcup\limits_ A_ [/math] , і так далі.
[math] A \cup B \cup C . \ subseteq U [/math] - "множина всього", "універсальна безліч".
[math]\overline = U [/math] \ [math] A [/math] - доповнення множини А, додаткова множина до А до U;

5 *. Підмножина [math] \mathbb R [/math] , обмежене зверху.

6. Елемент [math] a \in A [/math] називається максимальним елементом множини, якщо [math] \forall b \in A : b \le a [/math] .

[math] f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R[/math]

[math] f(n) [/math] — значення [math] f [/math] , [math] f(n) = a_n [/math]

[math] f(N) [/math] - безліч значень [math] f [/math]

[math] c_n = a_n + b_n[/math] - сума послідовностей.

[math] c_n = a_n \ cdot b_n [/math] - добуток послідовностей.

Загалом арифметичні дії з послідовностями здійснюються над елементами з однаковими номерами.

8. Образ множини [math] A [/math] під впливом відображення [math] f [/math] - безліч всіх f(x), де [math] x \in A [/math] . Прообраз множини [math] B [/math] щодо відображення [math] f [/math] : [math] f^(B) = [/math] < [math] x \in X, f(x) \in B [/math] >

9. Ін'єкція, сюр'єкція, бієкціяІн'єктивневідображення - переводить різні елементи A в різні елементи B:

[math] \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) [/math]

Сюр'єктивневідображення(на множині B) — кожен елемент множини B є образом хоча б одного елемента множини A:

[math] \forall b \in B: \exists a : b = f(a) [/math]

Бієктивневідображення - ін'єкція + сюр'єкція - взаємно однозначна відповідність, має дві попередні властивості.

10. Ціла частина числа y - найменше [math] x \in \mathbb Z : x \le y [/math]

11. Закони де Моргана

12. Векторозначна функція - функція, областю значень якої є числова безліч, а щось складніше. (наприклад, [math] \mathbb R ^ [/math] ) (c) ІМ

13 *. Координатна функція

14. Графіком функції f називається множина [math] G = [/math] < [math] (x, y) : x \in X, y \in f(x) [/math] >(В оригіналі Г з індексом f)

15. Композиція відображень [math] (f\circ g)(x) = f(g(x)) [/math]

16 *. Звуження та продовження відображень.

17 *. Межа послідовності (епсілон-дельта визначення)

18. Межа послідовності (визначення мовою околиць)

[math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0: a_n - a \lt \varepsilon [/math]

Записують: [math] a = \lim\limits_ a_n [/math]

19. Нехай [math]X[/math] - абстрактна безліч.

[math] X \times X = \ < (x_1, x_2): x_i \in X \>[/math] — прямий твір безлічі [math]X[/math] на себе

Якщо на [math]X[/math] визначена метрика, то пара [math](X, \rho)[/math] називаєтьсяметричним простором, абревіатура -МП.Підпростір?

20 *. Околиця точки, проколота околиця,околиці R з рисою.

[math] \varepsilon [/math] - околиця точки [math] x = B(x, \varepsilon) [/math] . Проколота [math] \varepsilon [/math] - околиця точки [math] x [/math] не включає точку [math] x [/math] .

21. Векторний простір Множина X називається векторним простіром над полем [math] \mathbb R [/math] , якщо введено 2 операції:

додавання, тобто кожній парі елементів множини [math]\mathbf, \mathbf \in L[/math] ставиться у відповідність елемент тієї ж множини, що позначається [math] \mathbf + \mathbf \in L[/math] і
множення на скаляр (тобто елемент поля [math]P[/math] ), тобто будь-якому елементу [math]\lambda \in P[/math] і будь-якому елементу [math]\mathbf \in L[/math] ставиться у відповідність єдиний елемент з [math]L \left(P \right) [/math] , що позначається [math] \lambda\mathbf\in L(P) [/math] .

При цьому на операції накладаютьсятакі умови:

[math]\mathbf + \mathbf = \mathbf + \mathbf[/math] , для будь-яких [math]\mathbf, \mathbf\in L[/math] (комутативність складання);
[math]\mathbf + (\mathbf + \mathbf) = (\mathbf + \mathbf) + \mathbf[/math] , для будь-яких [math]\mathbf, \mathbf, \mathbf \in L[/math] (асоціативність складання);
існує такий елемент [math]\theta \in L[/math] , що [math]\mathbf + \theta = \mathbf[/math] для будь-якого [math]\mathbf \in L[/math] (існування нейтрального елемента щодо складання), зокрема [math]L[/math] не порожньо;
для будь-якого [math]\mathbf \in L[/math] існує такий елемент [math]-\mathbf \in L[/math] , що [math]\mathbf + (-\mathbf) = \theta[/math] (існування протилежного елемента щодо складання).
[math]\alpha(\beta\mathbf) = (\alpha\beta)\mathbf[/math] (асоціативність множення на скаляр);
[math]1\cdot\mathbf = \mathbf[/math] (унітарність: множення на нейтральний (за множенням) елемент поля P зберігає вектор).
[math](\alpha + \beta)\mathbf = \alpha \mathbf + \beta \mathbf[/math] (дистрибутивність множення на вектор щодо складання скалярів);
[math]\alpha(\mathbf + \mathbf) = \alpha \mathbf + \alpha \mathbf[/math] (дистрибутивність множення на скаляр щодо складання векторів).

Елементи множини [math]L[/math] називаютьвекторами, а елементи поля [math]P[/math] -скалярами. Властивості 1-4 збігаються з аксіомами абелевої групи.

22. Норма у векторному просторі [math]V\ [/math] над полем речових або комплексних чисел - це відображення [math]p\colon V \to \mathbb[/math] , що має наступні властивості:

[math]\forall x \in V,p(x)\geqslant 0;[/math]
[math]p(x)=0 \Rightarrow x=0_V;[/math]
[math]\forall x,y \in V, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)[/math] (нерівність трикутника);
[math]\forall \alpha \in \mathbb, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=\alphap(x).

Ці умови єаксіомами норми.

23.Скалярним творому векторному просторі [math]\mathbb L[/math] над полем [math]\mathbb C[/math] називається функція [math]\langle x, y \rangle[/math ] для елементів [math]x, y \in \mathbb L[/math] , що приймає значення [math] \mathbb C [/math] , визначена для кожної пари елементів і задовольняє наступним умовам:

для будь-яких трьох елементів [math]

x_1, x_2 [/math] та [math]

y [/math] простору [math] \mathbb L[/math] та будь-яких чисел [math]

\alpha , \beta [/math] справедлива рівність [math] \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle[/math] (лінійність скалярного твору за першим аргументом); для будь-яких [math]

y [/math] справедливо рівність [math] \langle y,x \rangle = \overline[/math] , де характеристика означає комплексне сполучення (ермітова симетричність); для будь-якого [math]

x [/math] маємо [math]\langle x,x \rangle \ge 0 [/math] , причому [math]\langle x,x \rangle =0 [/math] тільки при [math]

x=0 [/math] (позитивна визначеність скалярного твору).

Справжній лінійний простір зі скалярним твором називається евклідовим, комплексний - унітарним.

24. Послідовність [math] x_n [/math] сходить до нескінченності [math] (x_n \to +\infty) [/math] , якщо [math] \forall E \gt 0, \exists N, \forall n \gt N : x_n \gt E [/math]

25. Верхня,нижня межа; супремум, інфімум

[math] b [/math] називаєтьсяверхнім кордономмножини А.

Якщо [math] A \subset \mathbb R, \, \exists c \in \mathbb R : A \ge c [/math] , то A називається обмеженим знизу безліччю.

[math] c [/math] називаєтьсянижньою межеюмножини А.

Якщо [math] A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b [/math] , то A називається обмеженим безліччю.

26. Функція f обмежена зверху E, якщо [math] \exists C : \forall x \in E, f(x) \le C [/math]

27. Функція f строго зростає E, якщо [math] \forall x_1, x_2 \in E, x_1 \lt x_2 : f(x_1) \lt f(x_2) [/math] Функція f нестрого зростає E, якщо [ math] \forall x_1, x_2 \in E, x_1 \lt x_2 : f(x_1) \le f(x_2) [/math] Монотонна = нестрого зростає або зменшується

28. [math] a in D [/math] . a - внутрішня точка D, якщо [math] \exists r : B(a, r) \subset D. [/math] D - відкрита множина, якщо всі його точки внутрішні IntD - начинка множини D - множина всіх внутрішніх точок множини D .

29. a - гранична точка множини D, якщо [math] \forall U(a) : [/math] [math]\dot[/math] [math](a)[/math] [math]\ cap[/math] [math] D \neq [/math] [math]\varnothing[/math]

30. Множина D замкнута, якщо містить усі свої граничні точки Замикання множини D -(?)функція, що повертає найменше за включенням замкнуту множину, що містить D. a - гранична точка множини D, якщо в будь-якій епсілон-околиці точки a є точки, що належать D, так і не належать. Кордон D - множина всіх граничних точок множини D.

31. [math] Y_n = sup(x_n, x_, x_, . ) [/math] - верхня обгинальна

[math] Z_n = inf(x_n, x_, x_, . ) [/math] -нижня огинаюча

Верхньою межею [math] X_n [/math] називають межу [math] Y_n [/math] .

Нижньою межею [math] X_n[/math] називають межу [math] Z_n[/math].

32. [math]l[/math] - часткова межа [math] X_n [/math] , якщо [math] \exists n_k : \lim\limits_ X_ = l[/math] [math](n_k в кінці) [ /math]

33. [math] (x, p^) [/math] - МП, [math] (y, p^) [/math] - інше МП, [math] D \subset X [/math] , a - граничні точки D.

[math] f: D \to Y [/math]

Визначення по Коші: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \exists \varsigma \gt 0 : \forall x (x \in D, x \neq a, p(x, a) \lt \varsigma) p^y (f(x), L) \lt \varepsilon [/math]
Мовою околиць: [math] \forall U(L) \exists V(a) : f([/math] [math]\dot[/math] [math](a)[/math] [math]\cap [/math] [math]D) \subset U(L) [/math]
за Гейном: [math] \forall X_n (\forall n (X_n \in D, X_n \neq a), X_n \to a (n \to +\infty)) : f(X_n) \to L (x \to +\infty) [/math]

34. [math] \left.\lim\limits_ f(x) \right_ [/math] називається межею f(x) при [math] x \to a [/math] за безліччю [math] D_1 [/math]

35. [math] \left.\lim\limits_ f(x) \right_ [/math] називається межею праворуч

[math] \left.\lim\limits_ f(x) \right_ [/math] називається межею зліва