Власна функція - дискретний спектр - Велика Енциклопедія Нафти та Газа
Власна функція – дискретний спектр
Власні функції дискретного спектра позначимо через іп (х), а власні значення е – через еп. [1]
Власні функції дискретного спектра – поліноми Ерміта – утворюють повний набір. [2]
Всі виведені в § 3, 4 співвідношення, що описують властивості власних функцій дискретного спектру, легко можуть бути узагальнені на випадок безперервного спектра власних значень. [3]
Спектр власних значень енергії може бути дискретним, і безперервним. Дійсно, для своїх функцій дискретного діапазону інтеграл J Ф 2 dq, взятий по всьому простору, кінцевий. Це, у разі, означає, що квадрат Ф 2 досить швидко зменшується, звертаючись на нескінченності нанівець. [4]
Спектр власних значень енергії може бути дискретним, і безперервним. Дійсно, для своїх функцій дискретного діапазону інтеграл f Ф 2 dq, взятий по всьому простору, кінцевий. Це, у разі, означає, що квадрат Ф 2 досить швидко зменшується, звертаючись на нескінченності нанівець. [5]
Існують оператори, які мають як дискретний, так і безперервний спектр. Власні функції безперервного спектра у разі ортогональні власним функцій дискретного спектра . Властивості функцій кожного типу збігаються з розглянутими вище, крім того, що в цьому випадку повну систему функцій утворює сукупність власних функцій обох спектрів разом. [6]
Правило нормування ( 10 5) своїх функцій операторів з безперервним спектром зветься нормування на дельта-функцию. Формула ( 10 5) замінює у разі умова ортонормування ( 9 5) власних функцій дискретного спектра . [7]
Правилонормування (10 5) власних функцій операго рев з безперервним спектром зветься нормування на дельта-функцію. Формула ( 10 5) замінює у разі умова ортонормування ( 9 5) власних функцій дискретного спектра . [8]
Так само, як це було зроблено вище, неважко показати, що будь-яка власна функція безперервного спектра ортогональна будь-якої власної функції дискретного спектра, якщо така є. Щоб показати, що власні функції безперервного спектру нормовані і взаємно ортогональні, можна, щоб уникнути деяких труднощів зі збіжністю замість самих власних функцій р (х, у, z, а) використовувати так звані власні диференціали) AV (х, У, z, a) da, де Так - дуже малий інтервал (а, а Так) безперервного спектра. Така заміна має фізичне значення. Вона відповідає аналогічній процедурі у класичній теорії хвиль, коли замість плоскої монохроматичної хвилі, що є лише абстракцією, використовується група хвиль, утворених шляхом суперпозиції хвиль з дуже близькими частотами. [9]
У § 3 було показано, що псі-функція визначається з точністю до будь-якого комплексного множника. У разі дискретного спектра цей множник завжди можна вибрати так, щоб квадрат кожної з функцій i) ft дорівнював одиниці. Надалі ми припускатимемо, що власні функції дискретного спектру нормовані на одиницю. [10]