Економічний зміст параметрів рівняння лінійної регресії

Рівняння регресії

Рівняння регресії — це математична формула, що визначає, яким буде середнє значення у тому чи іншому значенні х, якщо всі інші фактори, що впливають на, не враховувати, тобто. абстрагуватися від них.

Знайти в кожному конкретному випадку тип функції, за допомогою якої можна точно відобразити залежність між х і у, - перше завдання регресійного аналізу. Види рівнянь:

1) лінійна залежність;

2) парабола;

3) гіпербола;

4) показова функція;

5) статечна функція і т.д.

Головною основою вибору типу функції має бути змістовний аналіз природи досліджуваного явища. Корисно відобразити залежність графічно.

Метод найменших квадратів

Далі необхідно визначити параметри рівняння регресіїа0таа1, (для параболи ще йа2). І тому використовують метод найменших квадратів. У його основу покладено ідею мінімізації суми квадратів відхилень фактичних значень від їх вирівняних (теоретичних) значень, тобто.

.

деуi- фактичні значення результативної ознаки;

yi (xi)- значення у, знайдені за рівнянням регресії.

Якщо регресія лінійна, то

Розглядаючи суму як функцію параметріва0іа1, визначають приватні похідні поа0іа1і прирівнюють їх до нуля, оскільки в точці екстремуму похідна функції дорівнює нулю:

Система рівнянь для різних типів залежності між ознаками

Якщо зв'язок між ознаками лінійний, то система рівнянь для знаходження параметрів рівняння регресії набуде вигляду:

Після вирішення системи щодоа1іа1становлять рівняння регресії.

Якщозв'язок між ознаками у них описується рівнянням параболи, то система нормальних рівнянь набуде вигляду:

Якщо зв'язок описується рівнянням гіперболи, система нормальних рівнянь наступна:

Економічний зміст параметрів рівняння лінійної регресії

У рівнянні лінійної регресії параметра0визначає середнє значенняyяке складається під впливом всіх факторів, крімх.

Параметра1називається коефіцієнтом регресії, він визначає, наскільки в середньому змінитьсяупри зміні факторної ознаки на одиницю. Чим більша величинаа1, тим значніший вплив даної факторної ознаки на результативний, що моделюється. Знак коефіцієнта регресії свідчить про характер впливу чинника результативний ознака.

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться результативна ознака при зміні факторної ознаки на 1%. Загальна формула для розрахунку коефіцієнта еластичності виглядає так:

,

деу'(х)- перша похідна рівняння регресіїу(х)пох.

При різних значеннях факторної ознакихкоефіцієнт еластичності набуває різних значень.

Для лінійного рівняння регресії коефіцієнт еластичності набуде вигляду:

.

Для параболічного зв'язку коефіцієнт еластичності дорівнює:

.

Для гіперболічного зв'язку коефіцієнт еластичності дорівнює:

3. Кореляційний аналіз. Показники тісноти зв'язку між ознаками

У разі лінійної залежності між ознаками для оцінки тісноти зв'язку застосовуютьлінійний коефіцієнт кореляції:

.

Лінійний коефіцієнт кореляції змінюється не більше —1 до +1. Якщоr0,9, то зв'язок сильний абодуже тісна. Якщо це дає підстави говорити про відсутність лінійного зв'язку міжхіу.

---