Модель епідемії
За багато тисячоліть існування людства безліч людей загинуло від різних епідемій. Щоб мати можливість боротися з епідеміями, тобто своєчасно застосовувати ті чи інші медичні заходи (карантини, вакцинації тощо.), необхідно вміти порівнювати ефективність цих заходів. Порівняти ж їх можна лише в тому випадку, якщо є можливість передбачити, як при тому чи іншому заході змінюватиметься перебіг епідемії, насамперед кількість хворих. Звідси виникає потреба у побудові моделей, які б служити цілям прогнозу.
Спочатку розглянемо модель «природного» перебігу епідемії (без медичного втручання). Зрозуміло, що модель епідемії може включати в себе вплив факторів різних рівнів. Так, можна було б врахувати закони, що керують діяльністю бактеріальних клітин, ступінь сприйнятливості до інфекції окремих людей, ймовірності зустрічі носіїв інфекції з ще здоровими людьми та багато інших факторів. Оскільки нашою метою є лише створення ілюстративної моделі, ми абстрагуємося від багатьох чинників.
Нехай єNздорових людей, і в момент часуt= 0 до цієї групи потрапляє одна хвора людина (джерело інфекції). Припустимо, що ніякого видалення хворих із групи немає (ні одужання, ні загибелі, ні ізоляції). Вважатимемо також, що людина стає джерелом інфекції відразу ж після того, як вона сама заразиться.
Позначимо кількість хворих на момент часуtчерезx(t), а кількість здорових – черезy(t)(очевидно, щоx(t )+y(t)=N+1у будь-який момент часу).
Заt= 0 виконується умовах(0)= 1.
Розглянемо інтервал часуt+dt, деdt– мінімальний проміжок часу.Необхідно визначити скільки нових хворих з'явиться за цей проміжок часу. Можна припустити, що їх число буде пропорційно величиніdt, а також числу зустрічей здорових і хворих людей, тобто добутку величинx×y:
dx=a∙x×y×dt, деa– коефіцієнт пропорційності (коефіцієнт передачі інфекції).
y = N + 1 - x→
Розв'язання цього рівняння:
Прогноз – форма залежності числа хворих групи від часу представлений малюнку.
 |
Завдання.Оцінити кількість хворих через 6 діб і скільки людей занедужає за 6-й день, якщоa= 0,001, аN+ 1 = 1101 чол.?
Для отримання відповідей слід використати рішення рівняння.
Можна ускладнити модель, припустивши, наприклад, що в момент часу 2 t хворий не 1 людина, а кілька (2 b). Крім того, припустимо, що через невеликий проміжок часу хворий одужує та отримує імунітет. Тодіz(t)– це число тих, хто перехворів і одужав на моментt.
деgх- число одужалих.
Тоді прогноз числа хворих матиме форму, представлену малюнку.
Конкретний вид кривої залежить відN, b, α, γ.
У моделі можна врахувати смертність хвороби, передачу хвороби через переносника (гризуни) тощо.
2.6. Моделідинамікивіковихгруп
Розглянемо ситуацію, коли вага кожної особи популяції змінюється протягом життя і необхідно зробити прогноз не чисельності, а біомаси всієї популяції або її «молодої» частини через певний час (t).
Нехайt- вік особини;
N(t, t)– чисельність всіх особин популяції, мають моментчасуtвікt;
Р(t)- середня вага особини віку t;
Тоді біомаса всіх особин вікуtдорівнюєN(t, t) Р(t)
Позначимо черезМ(t, j)цікаву для нас біомасу всіх особин популяції, що мають у момент часуtвік не більшеj.
Тоді
ЗалежністьРвідtіноді відома, наприклад, з наукової літератури. Набагато важче визначитиN(t, t). Вона залежить багатьох чинників як зовнішніх (температура, вологість, харчування тощо.), і від видових особливостей (плодючість, життєздатність тощо.).
Іноді для моделювання чисельностіN(t, t)зручно відмовитися від безперервного часу і перейти від диференціальних рівнянь до дискретних моделей, що прогнозують процес за кроками, тобто в дискретні моменти. Розглянемо дискретну «крокову» модель динаміки вікової структури населення залежно від часу. Ця модель широко використовується у наукових дослідженнях з екології, сільського господарства, демографії тощо.
Популяцію умовно розбивають наnвікових груп. У початковий часt0відома чисельність особин кожної (i– ой) вікової групи, що позначаєтьсяхi(t0), i= 1…n (3) (рисунок).
Зі всіх вікових груп виділяють ті, які виробляють потомство. Нехай їх номери будутьk, k+1, k+2, …, k+p. Припустимо, що наступний момент часуt1обраний так, що за проміжок відt0доt1(1 «крок») особиниi- ой групи переходять у групуi+1, від групk, k+1,k+2, … , k+pз'являється потомство, і частина особин кожної групи гине. Наприклад, перша група – особини від 0 до 1 року, друга – від 1 до 2 років тощо. «Крок» прогнозу також 1рік. Нехайai- коефіцієнт народжуваності вi- ой групі;bi- коефіцієнт виживання вi- ой групі (смертність визначатиметься, як1 - bi). 0 . xi(t0), а все потомство, що з'явилося в проміжок відt0доt1буде одно:
Тепер визначимо чисельність другої вікової групи на момент часуt1. За час відt0доt1особи, що знаходяться в моментt0у першій віковій групі перейдуть у другу. При цьому частина їх може загинути. Тому чисельність другої вікової групи на момент часуt1:
Аналогічно розраховуються і чисельність кожної (i-ой) групи через 1 «крок».
xi(t1) = bi-1. xi-1(t0)., де 0 2 можна отримати висновок: з ймовірністю (Р) менше 0,05 (5%) виявлене відхилення від 3:1 викликане випадковою помилкою вибірковості. Отже відхилення насправді викликане якимись особливими, невипадковими чинниками.
Друга причина, з якої необхідно застосовувати стохастичні моделі, особливо в сільському господарстві, це вплив на процеси (системи), що моделюються, наприклад, рослини, неконтрольованих випадкових коливань умов вирощування. Часто вплив цих коливань навіть перекриває вплив на врожай генотипів порівнюваних сортів. Для генетиків, селекціонерів, сортовипробувачів дуже важливо грамотно застосовувати стохастичні моделі та методи.
Розглянемо приклад. Оцінимо можливість випадкової мутації гена, який визначає групу крові. Нехай таких генів три (В, С, Е). Ймовірність спонтанних мутацій окремих нуклеотидів:А ↔ Т; Ц ↔ Гі т. д. однакові та рівні ≈10 -1 . АлельВвідрізняється відСвсього по десяти нуклеотидів, а "проміжні" мутації нежиттєздатні. Якщо мутації виникають незалежно, тоймовірність мутації відВдоЗ Р(В→С) ≈10 -10 . Для реалізації такої мізерно ймовірності потрібні великі популяції і дуже довга низка поколінь. Значить, якщо новий вид містить усі три алелі (В, С, Е), то вони були отримані від виду - предка, а не утворилися в результаті нових мутацій.