Полілінійна алгебра

Полілінійна алгебра- розділ алгебри, що узагальнює поняття лінійної алгебри на функції кількох змінних, лінійні по кожному з аргументів.

Зміст

Основні визначення

Основним об'єктом полілінійної алгебри єполілінійне(n-лінійне)відображення:

f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow W ,

де V_1, \dots, V_n та W – векторні простори над певним полем K . Умова n -лінійності означає, що, для кожного i = 1, \dots, n сімейство відображень

(\pi_if)_> : V_k \rightarrow W; \quad

(\pi_if)_>(x_i) = f(x_1, \dots, x_n) , що залежить від n - 1 змінних як від параметрів, складається з лінійних відображень. Можна також визначити n -лінійне відображення рекурсивно (по індукції), яклінійневідображення з V_n векторний простір (n - 1) -лінійних відображень.

2-лінійне відображення називаєтьсябілінійним, 3-лінійне -трилінійним. Якщо W збігається з полем K, відображення називаєтьсяполілінійною формою.

Полілінійна форма називаєтьсясиметричною, якщо її значення не зміняться при перестановці будь-яких двох аргументів, і отже, при будь-якій перестановці всіх аргументів.
Полілінійна форма називається кососиметричною (антисиметричною), якщо її значення зміняться на протилежне при перестановці будь-яких двох аргументів. Отже, при перестановці всіх аргументів їй значення не зміняться, якщо перестановка парна, і зміняться протилежне, якщо перестановка непарна.
Теорема:[1] для кожного n > 1 існує єдина (з точністю до множення на константу - елемент поля K) кососиметрична n-лінійна форма f : V_1 \times \dots\times V_n \rightarrow K . Це визначник матриці, складеної з векторів V_1, \dots, V_n .

Можливе узагальнення відображень із векторних просторів (над полями) на модулі над кільцями.

Квадратичні та білінійні форми

Алгебраїчні форми (однорідні багаточлени на векторних просторах, що задаються однорідними багаточленами від координат вектора) є важливими об'єктами вивчення лінійної алгебри. Найбільший інтерес з них представляють квадратичні форми та білінійні форми, але також вивчаються форми вищих ступенів, полілінійні форми, поліквадратичні форми, деякі спеціальні види форм (напівторалінійні, ермітові). Основними питаннями щодо алгебраїчних форм є закони зміни коефіцієнтів при лінійних перетвореннях (замінах координат), способи приведення до канонічного виду у вигляді лінійних перетворень і взаємопредставлення форм. [2]

Квадратична форма - об'єкт лінійної алгебри, що фігурує в багатьох розділах математики, зокрема, в теорії чисел, теорії груп (ортогональна група), диференціальної геометрії, алгебрах Лі (кілінгова форма [en]), що визначається як однорідний багаточлен другого ступеня в основному поле від n змінних (n - розмірність розглянутого простору). Квадратична форма може бути представлена як матриця n \times n, яка (при основному поле характеристики, відмінної від 2) є симетричною, а кожній симетричній матриці відповідає квадратична форма, відповідно, над квадратичними формами вводяться ті ж операції, що і над матрицями (множення на скаляр, додавання), квадратичні форми можуть бути приведені до канонічного виду - діагональної форми:

\sum_^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2 ,

(одним із практичних способів приведення є метод Лагранжа) і розглядається [a_1, \dots, a_n] як клас еквівалентності всіх квадратичних форм, що приводяться до діагональної форми з відповідними коефіцієнтами, всередині таких класів еквівалентності зберігаються ранг та сигнатура. [3]

Розгляд пари лінійних форм (однорідних багаточленів першого ступеня) як єдиної функції від двох систем змінних (у термінах лінійних просторів над декартовим твором двох векторних просторів, у найбільш загальному випадку над твором лівого та правого унітарних модулів над одним кільцем з одиницею) призводить до поняття білінійної форми (з погляду тензорної алгебри, білінійна форма сприймається як тензор рангу (2,0) ). Як і квадратична форма, білінійна може бути виражена матрицею, причому будь-яка білінійна форма B може бути представлена квадратичною:

притому, у випадку, коли векторний простір визначено над полем відмінної від поля 2, взаємно єдиним чином [4] .

Зважаючи на особливу важливість (як для лінійної алгебри, так і для додатків) найбільш детально вивчені властивості симетричних (B(x,y)=B(y,x)) і кососиметричних (B(x,y)= - B(y, x)) білінійних форм.

Інші приклади

Операцій

Тензорний твір - створює лінійний простір, але відображення, лінійні на творі, відповідають полілінійним відображенням на вихідних просторах